BOセミナー記録

Kedlaya notesのSection 1.1から1.3まで読んだが、圏論の基礎知識がないので、それを議論しながら進めた。

• small setとは、固定されたuniverseに属するsetのこと。
• small categoryとは、対象と射の集合がそれぞれsmallなこと。
• 圏Cにおけるdiagram Dについてのlimitとは、D上のconeの圏のterminal objectのこと。
• 圏Cにおけるdiagram Dについてのcolimitとは、D上のcoconeの圏のinitial objectのこと。
• limitやcolimitがsmall/filteredとは、Dがsmall/filteredなこと。
• 圏がsmall completeなどと言うと、任意のsmall limitが存在することを指す。
• filtered categoryとは、任意の二つのobjectや二つの射について、十分先まで行けば同じにできるようなやつ。（例えばterminal objectがあればfilteredだが、これはかなり強い？）
• productはdiscrete diagramのlimit。coproductはcolimit。
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• 群がgroupoidと思えるように、環はpreadditive categoryと思える。このことから、preadditive categoryはringoidとも呼ぶ。
• additive categoryではfinite productとfinite coproductが一致する。これを(finite) direct sumと呼ぶ。（一般のdirect sumは多分coproductのこと）
• additive categoryとは、任意のfinite product/coproductを持つpreadditive categoryのこと。
• abelian categoryとは、任意のkernelとcokernelが存在するadditive categoryのこと。
• 環A上の加群圏Mod_Aを一般化するものとして、preadditive category A上の加群圏Mod_Aを、Fun^+(A,Ab)と定義する。
• 基本的にこのような関手圏は、関手の値域圏の性質をそのまま継承するので、例えばこの場合にはMod_Aがabelian categoryであることが分かる。また、limitやcolimitも、値域におけるpointwiseなlimitやcolimitとして構成することができる。

前回の内容を踏まえつつ、Section 1.3を議論した。

• cocomplete preadditive category Aのobject Xがcompactであるとは、Hom_A(X,-)が任意のfiltered colimitを保つこと。
• この条件から、「任意のinfinite coproductを保つ」ことも出せる。（infinite coproductは、finite coproductのfiltered colimitと思える。従って、finite coproductを保つことを見れば良いが、finite coproductはfinite productと同じである。Hom_A(X,-)が任意のproductを保つ、ということはproductの普遍性に他ならない。）
• direct sumを持つabelian category Aのfull subcategory A'がAをgenerateするとは、Aの任意のobjectが、A'のobjectのdirect sumからのepiとして表せること。
• Aをsmall additive categoryとして、それをMod_Aに米田で埋め込むと、それはMod_Aをgenerateするcompact objectたちになる。
• この証明では、「Mod_Aの任意のobjectは表現可能関手（Aのobject）のcolimitで書ける」というco米田が重要となる。
• Mod_Aの任意のobjectがcompact objectたちのcolimitで書けることから、Mod_Aはcompactly generatedである。
• co米田の正確な主張と、それが米田のどう「co」なのか、またKan extensionとの関係はどうなっているのか、あたりはよく理解できていないので、また次回。

圏論の基本的な概念について議論した。

• essentially small categoryとは、small categoryに同値なcategoryのこと。
• したがって、small completeならば、essentially smallなcolimitも存在する。
• setの圏などと言うと、それはsmall setの圏のことを意味する。（ここにややこしさがあって、universeの立場から言えば、我々の扱うものは全てsetであり、その中の特殊なクラスとしてのsmall setというものがあるが、日常の議論を行う上でsmall setという言葉を強調して使いすぎると、普通に「set」と言ったときにそれがsmallでないsetを意味する可能性が発生してしまう。ので、実用上は、small setのことを「set」と呼んで、smallとは限らないsetのことを「集まり」などと呼ぶのが便利。）
• solid moduleの圏を定義した。これは、R_solidというsmall additive category上のmodule category (Abへのfunctor category)として定義される。
• これはR-moduleのcategoryをfull subcategoryとして真に含む。